Leavitt Yol Cebiri (Leavitt Path Algebra, kısaca LPA) L_F(Γ), üreteçleri ve bağıntıları Γ yönlü çizgesi ile kodlanan birleşmeli bir cebirdir. İlk günkü derslere yönlü çizgi tanımıyla başlanıp köşelerin üzerindeki ön-sıralama, sonlu ve sonsuz yollar, batak, döngü, bukle, kalıtsal ve doygun köşe kümeleri, K, L ve benzeri koşullar ve çizgenin yarı grubu anlatıldıktan sonra LPA tanımı verilip temel özellikler ispatlanacaktır. Örneklerle bilinen bazı cebirlerin (matris cebirleri, Laurent polinom cebiri, Jacobson-Toeplitz cebiri, L(1,n) Leavitt cebirleri gibi) hangi çizgelerden geldiği gösterilecektir. Son olarak da çizgesel ve cebirsel özellikler arasındaki sözlük ile bu ders serisi tamamlanacaktır. Çizgeler sonlu ve cebirin katsayıları bir cisim olarak alınacaktır.

Bu dersin amacı Leavitt yol cebirlerinin ideallerini incelemek olduğu için öncelikle bir halkanın iki taraflı idealleri, maksimal idealleri, asal idealleri ve ilkel ideallerinden bahsedilecektir. Leavitt yol cebirleri Z-dereceli olduğundan dereceli ideallerinin yapısı ve üreteçlerini belirlemek önemlidir. Ayrıca basit dereceli Leavitt yol cebirlerinin dereceli olmayan idealleri vardır. Leavitt yol cebirlerinin herhangi bir idealinin üreteçlerinin çizgenin köşeleri ve köşelerinden elde edilen kalıtsal doymuş küme ile olan ilişkisi verilecektir. Leavitt yol cebirlerinin maksimal ideallerinin yapısı incelenecek ve asal ideallerinin karakterizasyonu ifade edilecektir. Dereceli bir idealin ilkel ideallerin kesişimi olduğu ispatlanacaktır.

Bir kombinatorik nesne olan yönlü çizgelere karşılık gelen bir cebirsel yapı olan Leavitt yol cebirleri 2004 senesinden bu yana bir çok matematikçinin ilgi alanı olmuştur. Eğer elimizde bir cebirsel yapı varsa, bu yapının cebirsel özelliklerini merak ederiz. Bu dersimizde Leavitt yol cebirlerinin minimal (sol)- idealleri üzerinde duracağız ve bu ideallerin toplamı olan socle kavramını Leavitt yol cebirlerinde irdeleyeceğiz. Benzer şekilde, maximal (sol)-ideallerin kesişimi ile tanımlı olan Jacobson radikal kavramı ele alınacak ve Leavitt yol cebirleri üzerinde incelenecektir. Son olarak da Leavitt yol cebirlerinin merkezleri hakkında bilgiler vereceğiz.

Artan zincir koşulu (ACC), ilk olarak Emmy Noether tarafından matematik literatürüne kazandırılmış ve daha sonra azalan zincir koşulu (DCC) Emil Artin tarafından ortaya atılmıştır. Artinian ve Noetherian halkalar, idealler üzerinde ACC ve DCC şartlarını sağlayan ve halkaların sonluluğunu ölçen halkalardır. Artinian halkalar minimum koşulunu sağlarken Noetherian halkalar maksimum koşulunu sağlar ve bu koşullar bazı durumlarda çakışıktır. Bu derste halkaların karakterizasyonlarını vermek için öncesinde maksimum, minimum şartlarından bahsedilecek ve bu konudaki tanım, teorem ve örneklere yer verilerek bu halkalar ayrı ayrı incelenecektir. Daha sonra “Artinian ve Noetherian halkalar arasında bir ilişki var mıdır?”, “Bu iki halka arasında ilişki varsa hangi koşullar altında sağlanır?” “Artinian ve Noetherian halka olma özelliği alt halka ve bölüm halkaları için de geçerli midir? gibi sorulara yanıt aranacaktır. Ayrıca Leavitt yol cebirlerinin (LPA) Artinian ve Noetherian halka olma şartları Γ yönlü çizgesinin çizge özellikleri kullanılarak verilmeye çalışılacak yani halkanın cebirsel yapısı çizgenin çizge-teorik özellikleri ile karakterize edilecektir. Halkalar için sorulan soruların Leavitt yol cebirlerinde ne kadarının karşılık bulduğu tartışılacaktır. Son olarak çizge örnekleri verilerek bu çizgelerin Leavitt yol cebirlerinin Artinian ve Noetherian yapısı çizge üzerinden açıklanarak konu daha anlaşılır kılınacaktır.

Modern yaklaşımda yönlü bir çizgenin yol kategorisinden vektör uzaylarına bir funktor olarak tanımlanan ama sadece lineer dönüşümlerle de ifade edilebilinen ok temsilleri (quiver representations) 1970'lerde Gabriel'in ve Auslander'in çalışmalarından itibaren halkalar ve modüller kuramının temel kavramlarından biri olmuştur. Bir yönlü Γ çizgesinin ok temsilleri, Γ çizgesinin yol cebirinin modüllerine denktir. Aynı yönlü çizgenin tanımladığı Leavitt yol cebirinin modülleri ise doğal bir izomorfizma koşulunu sağlayan ok temsillerine karşı gelir. Bu derste (sonlu üretilmiş) projektif, basit, ayrıştırılamaz modüller gibi önemli kavramlar tanımlanacak ve yukarıda bahsedilen teoremler aracılığıyla bunların Leavitt yol cebirlerindeki örnekleri ve bilinen sınıflandırılmaları anlatılacaktır. Ayrıca 122F414 nolu TUBİTAK 1001 projesi kapsamında elde edilen sonuçlardan bahsedilecektir. Zaman kalırsa, katılımcıların ilgi ve bilgi düzeylerine bağlı olarak, kategorik yaklaşım ve Morita kuramına giriş gibi konular da işlenecektir.